对称矩阵(百科)

在线性代数中，对称矩阵（Symmetric matrix）是指转置矩阵和自身相等方形矩阵。

定义

设A是n阶方阵，则A是对称矩阵当且仅当A的转置矩阵AT和A相等。

计算公式

设A是n阶方阵，则A的转置矩阵AT可以用以下公式计算：

A^T = (a_ij)^(T) = (a_ji)

因此，A是对称矩阵当且仅当A的元素a_ij与a_ji相等。

判断方法

判断A是否是对称矩阵，可以用以下方法：

1. 直接比较A与AT是否相等。
2. 检查A的元素a_ij与a_ji是否相等。

举例

A =

[1 2 3]
[2 4 5]
[3 5 6]

A的转置矩阵为

[1 2 3]
[2 4 5]
[3 5 6]

因此，A是对称矩阵。

特点

对称矩阵具有以下特点：

• 特征值都是实数。
• 特征向量是正交的。
• 可对角化。

对称矩阵性质

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

5.用<,>表示上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈，。

6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：

7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

10.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。

11.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

应用

对称矩阵在许多领域都有应用，如：

• 统计学：用于分析数据。
• 物理学：用于描述物理系统的运动。
• 工程学：用于设计结构和机器。

图示

结论

对称矩阵是线性代数中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。